Question

7．給出下列命題，其中所有正確命題的序號為③④⑥
①$\overrightarrow a=（sinα，1），\overrightarrow b=（cosα，-1），則存在實數(shù)α，使得\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$
②若$\overrightarrow a=（2，2），\overrightarrow b=（sinα-1，\frac{1}{2}-cosα），則存在實數(shù)α，使得\overrightarrow a∥\overrightarrow b$
③函數(shù)$y=sin（x+\frac{3π}{2}）$是偶函數(shù)
④x=$\frac{π}{8}是函數(shù)y=sin（2x+\frac{5π}{4}）$的一條對稱抽方程
⑤若α，β是第一象限的角且，α＞β，則sinα＞sinβ
⑥$若α，β∈（{\frac{π}{2}，π}）且tanα＜\frac{1}{tanβ}，則π＜α+β＜\frac{3π}{2}$．

Answer 1

分析 由向量垂直的條件：數(shù)量積為0，結(jié)合二倍角的正弦公式和正弦函數(shù)的值域，即可判斷①；
由向量共線的坐標表示和輔助角公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域，即可判斷②；
運用誘導(dǎo)公式和余弦函數(shù)的奇偶性，即可判斷③；
由代入法，求得最值，即可判斷④；可令α=390°，β=30°，求出正弦值，即可判斷⑤；
由兩角和的正切公式，結(jié)合條件，即可判斷⑥．

解答 解：對于①，由$\overrightarrow{a}$=（sinα，1），$\overrightarrow$=（cosα，-1），$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=sinαcosα-1=0，即sin2α=2，不成立，故①錯；
對于②，由$\overrightarrow{a}$=（2，2），$\overrightarrow$=（sinα-1，$\frac{1}{2}$-cosα），$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，
可得2（$\frac{1}{2}$-cosα）=2（sinα-1），即有sinα+cosα=$\frac{3}{2}$，
由sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，可得α不存在，故②錯；
對于③，函數(shù)$y=sin（x+\frac{3π}{2}）$=-cosx是偶函數(shù)，故③對；
對于④，由sin（2×$\frac{π}{8}$+$\frac{5π}{4}$）=sin$\frac{3π}{2}$=-1，為最小值，
則x=$\frac{π}{8}是函數(shù)y=sin（2x+\frac{5π}{4}）$的一條對稱抽方程，故④對；
對于⑤若α，β是第一象限的角且α＞β，可令α=390°，β=30°，
則sinα=sinβ，故⑤錯；
對于⑥，若α，β∈（$\frac{π}{2}$，π），tanα＜$\frac{1}{tanβ}$，則tanα＜0，tanβ＜0，
即為$\frac{tanαtanβ-1}{tanβ}$＜0，可得tanαtanβ-1＞0，tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$＞0，
由α，β∈（$\frac{π}{2}$，π），可得π＜α+β＜2π，結(jié)合tan（α+β）＞0，可得π＜α+β＜$\frac{3}{2}$π，故⑥對．
故答案為：③④⑥．

點評 本題考查向量垂直和平行的條件，考查三角函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性、對稱性的判斷和運用，考查推理和運算能力，屬于中檔題．