Question

16．已知拋物線C：y=2x²和直線l：y=kx+1，O為坐標(biāo)原點．
（1）求證：l與C必有兩交點；
（2）設(shè)l與C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點，且直線OA和OB的斜率之和為1，求k的值．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2{x}^{2}}\\{y=kx+1}\end{array}\right.$，得2x²-kx-1=0，利用根的判別式能證明l與C必有兩交點．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2{x}^{2}}\\{y=kx+1}\end{array}\right.$，得2x²-kx-1=0，設(shè)l與C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點，利用韋達定理、直線的斜率，結(jié)合已知條件能求出k的值．

解答 證明：（1）拋物線C：y=2x²和直線l：y=kx+1，O為坐標(biāo)原點，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2{x}^{2}}\\{y=kx+1}\end{array}\right.$，得2x²-kx-1=0，
△=（-k）²+8=k²+8＞0，
∴l(xiāng)與C必有兩交點．
解：（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2{x}^{2}}\\{y=kx+1}\end{array}\right.$，得2x²-kx-1=0，
△=（-k）²+8=k²+8＞0，
設(shè)l與C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點，
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{k}{2}$，x₁x₂=-$\frac{1}{2}$，
∵直線OA和OB的斜率之和為1，
∴k_OA+k_OB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{{x}_{1}（k{x}_{2}+1）+{x}_{2}（k{x}_{1}+1）}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{2k×（-\frac{1}{2}）+\frac{k}{2}}{-\frac{1}{2}}$=1，
解得k=1．

點評 本題考查直線與拋物線必有兩個交點的證明，考查直線的斜率的求法，考查拋物線、韋達定理、直線的斜率公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．