Question

已知點A（-1，m）在拋物線C：y²=4x的準線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，若直線BF的斜率為

4

3

，則m=（　　）

• A、2
• B、3
• C、

  2

  3

• D、

  3

  2

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由拋物線的方程設切點B的坐標是（

y02

4

，y₀），并求出焦點F的坐標，由條件和斜率公式求出y₀的值，再求出B的坐標，由點斜式方程設出切線的方程，聯立拋物線的方程消去x后，由相切的條件：△=0求出斜率k的值，再求出切線方程，把點A的坐標代入求出m的值．

解答： 解：由題意設切點B的坐標是（

y02

4

，y₀），且y₀＞0，
因為拋物線C：y²=4x的焦點F是（1，0），且直線BF的斜率為

4

3

，
所以

y0-0

y02 4 -1

=

4

3

，化簡得y02-3y0-4=0，
解得y₀=4或y₀=-1（舍去），
則B點的坐標是（4，4），
設過點A的切線方程是y-4=k（x-4），即y=kx-4k+4，
由

y=kx-4k+4 y2=4x

得，

k

4

y2-y-4k+4=0，
所以△=1-4×

k

4

×(-4k+4)=0，
化簡得4k²-4k+1=0，解得k=

1

2

，
代入切線方程y=kx-4k+4得，y=

1

2

x+2，
把點A（-1，m）代入y=

1

2

x+2，解得m=

3

2

，
故選：D．

點評：本題考查拋物線的簡單性質，直線的點斜式方程、斜率公式，以及直線與圓錐曲線的關系．