Question

已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），焦距為2

3

，長軸長為4．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)O作兩條互相垂直的射線，與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．
（1）證明：點(diǎn)O到直線AB的距離為定值，并求出這個定值；
（2）求|AB|的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）首先根據(jù)條件求出橢圓的方程，
（Ⅱ）（1）用分類討論的方法先設(shè)直線的特殊形式，再設(shè)一般式，建立直線和橢圓的方程組，再利用韋達(dá)定理的應(yīng)用求出關(guān)系量，（2）用三角形的面積相等，則利用點(diǎn)到直線的距離求出定值，最后利用不等式求出最小值．

解答： 解：（Ⅰ）2c=2

3

，2a=4，
所以：a=2，c=

3

則：b²=a²-c²=1
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

4

+y2=1
解：（Ⅱ）（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
證明：①當(dāng)直線AB的斜率不存在時，則△AOB為等腰直角三角形，不妨設(shè)直線OA：y=x
將y=x代入

x2

4

+y2=1，解得x=±

2

5

5

所以點(diǎn)O到直線AB的距離為d=

2

5

5

，
②當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓

x2

4

+y2=1
聯(lián)立消去y得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
則：x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4m2-4

1+4k2

因?yàn)镺A⊥OB，所以：x₁x₂+y₁y₂=0，x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0
即(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0
所以：(1+k2)

4m2-4

1+4k2

-

8k2m2

1+4k2

+m2=0，
整理得：5m²=4（1+k²），
所以點(diǎn)O到直線AB的距離d=

|m|

1+k2

=

2 5

5

綜上可知點(diǎn)O到直線AB的距離為定值

2 5

5

．
解：（2）在Rt△AOB中，利用三角形面積相等，
利用點(diǎn)O到直線AB的距離為d，
則：d•|AB|=|OA|•|OB|
又因?yàn)?|OA|•|OB|≤|OA|²+|OB|²=|AB|²，所以|AB|²≥2d•|AB|
所以|AB|≥|AB|≥2d=

4 5

5

，
當(dāng)|OA|=|OB|時取等號，即|AB|的最小值是

4

5

5

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線和曲線的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離，韋達(dá)定理的應(yīng)用，不等式的應(yīng)用．屬于中檔題型．