Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，1），$\overrightarrow$=（sinx，cosx+1）
（I）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，求所有滿足條件的向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的坐標(biāo)；
（II）若函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時的x值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)向量平行得到sinx（cosx+1）=sinx，再根據(jù)又sin²x+cosx²=1，解得sinx，cosx，即可得到所有滿足條件的向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的坐標(biāo)，
（Ⅱ）根據(jù)向量的數(shù)量積公式，和同角的三角函數(shù)的關(guān)系，利用換元法，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出．

解答 解：（I）由$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，得sinx（cosx+1）=sinx，
∴sinxcosx=0，又sin²x+cosx²=1，
解得$\left\{\begin{array}{l}{sinx=0}\\{cosx=±1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{cosx=0}\\{sinx=±1}\end{array}\right.$
所以滿足條件的向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$有$\overrightarrow{a}$=（0，1），$\overrightarrow$=（0，2）或$\overrightarrow{a}$=（0，1），$\overrightarrow$=（0，0）或$\overrightarrow{a}$=（1，1），$\overrightarrow$=（1，1）或$\overrightarrow{a}$=（-1，1），$\overrightarrow$=（-1，2）
（II）函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=sin²x+cosx+1=-cos²x+cosx+2，
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
∴cosx∈[0，1]，
令cosx=t，則f（x）的解析式可化為f（t）=-t²+t+2=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，t∈[0，1]，
故當(dāng)t=$\frac{1}{2}$，即x=±$\frac{π}{3}$時，函數(shù)f（x）取得最大值，最大值為$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、同角的三角函數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)、考查了計算能力，屬于中檔題．