Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中已知A(4,O)、B(0,2)、C(-1,0)、D(0,-2),點(diǎn)E在線段AB(不含端點(diǎn))上,點(diǎn)F在線段CD上,E、O、F三點(diǎn)共線.

(1)若F為線段CD的中點(diǎn),證明:；

(2)“若F為線段CD的中點(diǎn),則”的逆命題是否成立?說明理由；

(3)設(shè),求的值。

Answer 1

【答案】（1）見詳解

（2）“若F為線段CD的中點(diǎn),則”逆命題成立；

（3）

【解析】

（1）由條件求得，可得，再由可得；

（2）小題（1）的逆命題成立，設(shè)由得再得，由共線可得，解方程組，求得的坐標(biāo)，可得F為線段CD的中點(diǎn).

（3）設(shè)，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，設(shè)，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，再根據(jù)三點(diǎn)共線，可得， ，化簡(jiǎn)可得的值.

（1）

若F為線段CD的中點(diǎn)，則，

，

又

.

故

（2）小題（1）的逆命題成立，設(shè)，由，三點(diǎn)共線，可得，所以，

，

由共線，，，

所以，即

解方程組 ，求得 ，可得

故F為線段CD的中點(diǎn)

（3） ，設(shè)，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得

，

設(shè)，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得

，

三點(diǎn)共線，可得，

即

，化簡(jiǎn)可得