Question

16．已知F₁、F₂是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左、右焦點，P是橢圓上一點（異于左、右頂點），點E是△PF₁F₂的內(nèi)心，若3|PE|²=|PF₁|•|PF₂|，則橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 圓E與△PF₁F₂相內(nèi)切，切點分別為D，F(xiàn)，H，由圓的切線的性質(zhì)和橢圓的定義、結(jié)合三角形的面積公式和二倍角的正弦公式，化簡整理，由離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：如圖可得，圓E與△PF₁F₂相內(nèi)切，
切點分別為D，F(xiàn)，H，由圓的切線的性質(zhì)，可得
PD=PF=x，DF₁=HF₁=y，HF₂=FF₂=z，
由橢圓的定義可得PF₁+PF₂=2a，
即有2x+y+z=2a，由y+z=2c，
可得x=a-c，
設(shè)圓的半徑為r，可得PE=$\sqrt{{r}^{2}+{x}^{2}}$，
由3|PE|²=|PF₁|•|PF₂|，可得
結(jié)合面積公式可得，$\frac{1}{2}$r（2x+2y+2z）=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂•sin∠F₁PF₂，
即為r（a+c）=3（r²+x²）sin∠F₁PEcos∠F₁PE=3rx=3r（a-c），
即有a+c=3a-3c，即a=2c，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查離心率的求法，注意運用三角形的內(nèi)切圓的切線的性質(zhì)和三角形的面積公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．