Question

8．已知圓C的方程為（x-1）²+y²=1，P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上一點，過點P作圖C的兩條切線，切點為A，B，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值是2$\sqrt{2}$-3．

Answer 1

分析 設∠APB=2θ，令|$\overrightarrow{PC}$|²=x，由向量數(shù)量積公式得到$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=x+$\frac{2}{x}$-3，由此能求出$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值．

解答 解：如圖所示，設∠APB=2θ，
$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|cos2θ
=|$\overrightarrow{PA}$|²（2cos²θ-1）
=|$\overrightarrow{PA}$|²（2$\frac{|\overrightarrow{PA}{|}^{2}}{|\overrightarrow{PC}{|}^{2}}$-1），
令|$\overrightarrow{PC}$|²=x，得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=x+$\frac{2}{x}$-3，
∵x∈（1，9]，∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$≥2$\sqrt{2}$-3，
當且僅當x=$\sqrt{2}$時，取等號，
故$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值是2$\sqrt{2}$-3．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質的合理運用．