Question

3．雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$上橫坐標(biāo)為$\frac{3}{2}a$的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離大于它到左準(zhǔn)線的距離，則該雙曲線兩條漸近線所夾的銳角的取值范圍是（0°，60°）．

Answer 1

分析 運(yùn)用雙曲線的第二定義，可得雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$上橫坐標(biāo)為$\frac{3a}{2}$的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離=（$\frac{3a}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{c}$）e=$\frac{3c}{2}$-a，雙曲線上橫坐標(biāo)為$\frac{3a}{2}$的點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離=$\frac{3a}{2}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$，由$\frac{3c}{2}$-a＞$\frac{3a}{2}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$，能夠推導(dǎo)出雙曲線離心率的取值范圍是（2，+∞），即c＞2a，進(jìn)而得到a，b的關(guān)系，由漸近線的斜率，結(jié)合雙曲線的漸近線的對(duì)稱性，可得夾角的范圍．

解答 解：雙曲線的準(zhǔn)線方程為x=±$\frac{{a}^{2}}{c}$，
由雙曲線的第二定義，可得雙曲線上橫坐標(biāo)為$\frac{3}{2}a$的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為：
e（$\frac{3a}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{c}$）=$\frac{c}{a}$•（$\frac{3a}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{c}$）=$\frac{3c}{2}$-a，
它到左準(zhǔn)線的距離為$\frac{3a}{2}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$，
即有$\frac{3c}{2}$-a＞$\frac{3a}{2}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$，
即為3c²-5ac-2a²＞0，
同除以a²，可得3e²-5e-2＞0，
解得e＞2或e＜-$\frac{1}{3}$（舍去）．
即有c＞2a，即c²＞4a²，
即有a²+b²＞4a²，
則b²＞3a²，即有b＞$\sqrt{3}$a，
而雙曲線的漸近線的斜率為±$\frac{a}$，
由$\frac{a}$＞$\sqrt{3}$，可得一條漸近線的傾斜角的范圍為（60°，90°），
由對(duì)稱性可得該雙曲線兩條漸近線所夾的銳角的取值范圍是（0°，60°）．
故答案為：（0°，60°）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的第二定義和漸近線方程，以及對(duì)稱性，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握雙曲線上橫坐標(biāo)為$\frac{3a}{2}$的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．