Question

10．已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在球心為O，半徑為R的球面上，$AB=6，BC=2\sqrt{3}$，且四棱錐O-ABCD的體積為$8\sqrt{3}$，則R等于（　　）

• A． 4
• B． $2\sqrt{3}$
• C． $\frac{{4\sqrt{7}}}{9}$
• D． $\sqrt{13}$

Answer 1

分析 由題意求出矩形的對(duì)角線的長(zhǎng)，即截面圓的直徑，根據(jù)棱錐的體積計(jì)算出球心距，進(jìn)而求出球的半徑．

解答 解：由題可知矩形ABCD所在截面圓的半徑即為ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)度的一半，
∵AB=6，BC=2$\sqrt{3}$，
∴r=$\frac{1}{2}\sqrt{{6}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}=2\sqrt{3}$，
由矩形ABCD的面積S=AB•BC=12$\sqrt{3}$，
則O到平面ABCD的距離h滿(mǎn)足：$\frac{1}{3}$×12$\sqrt{3}$h=8$\sqrt{3}$，
解得h=2，
故球的半徑R=$\sqrt{{r}^{2}+{h}^{2}}=\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}=4$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球內(nèi)幾何體的體積的計(jì)算，考查空間想象能力和計(jì)算能力，是中檔題．