Question

20．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$經(jīng)過點(diǎn)$A（{1，\frac{3}{2}}）$，C的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為$4\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在橢圓C上是否存在相異兩點(diǎn)E，F(xiàn)，使其滿足：①直線AE與直線AF的斜率互為相反數(shù)；②線段EF的中點(diǎn)在y軸上．若存在，求出∠EAF的平分線與橢圓相交所得弦的弦長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意列關(guān)于a，b的方程組，求解可得a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）由題意分別設(shè)出AE、AF所在直線方程，與橢圓方程聯(lián)立求得E，F(xiàn)的橫坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)的中點(diǎn)在y軸上列式求得斜率，可得滿足條件的E，F(xiàn)存在，進(jìn)一步求出∠EAF的平分線方程，與橢圓聯(lián)立求得弦長(zhǎng)．

解答 解：（1）由已知得$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1\\ ab=2\sqrt{3}\\ a＞b＞0\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=3，
∴橢圓C的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）設(shè)直線AE的方程為$y-\frac{3}{2}=k（{x-1}）$，代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，得（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+4k²-12k-3=0．①
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），且x=1是方程①的根，
∴${x_1}=\frac{{4{k^2}-12k-3}}{{3+4{k^2}}}$，
用-k代替上式中的k，可得${x_2}=\frac{{4{k^2}+12k-3}}{{3+4{k^2}}}$，
∵E，F(xiàn)的中點(diǎn)在y軸上，∴x₁+x₂=0，
∴$\frac{{4{k^2}-12k-3}}{{3+4{k^2}}}+\frac{{4{k^2}+12k-3}}{{3+4{k^2}}}=0$，解得$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
因此滿足條件的點(diǎn)E，F(xiàn)存在．
由平面幾何知識(shí)可知∠EAF的角平分線方程為x=1．
把x=1代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，可得y=$±\frac{3}{2}$，
∴所求弦長(zhǎng)為3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．