Question

已知函數(shù)f（x）=sin（x-

π

3

）+

3

cos（x-

π

3

）．
（1）求f（x）在[0，2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=（1+sinx）f（x），求g（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由兩角和的正弦公式化簡解析式，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）在[0，2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由（1）求出的f（x）代入g（x）化簡后，設(shè)t=sinx并求出t的范圍，代入解析式進行配方，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值，再用區(qū)間表示出g（x）的值域．

解答：解：（1）由題意得，f（x）=2[

1

2

sin（x-

π

3

）+

3

2

cos（x-

π

3

）]
=2sin（x-

π

3

+

π

3

）=2sinx，
∴f（x）在[0，2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是：[0，

π

2

]，[

3π

2

，2π]；
（2）由（1）得，g（x）=2sinx（1+sinx）=2sinx+2sin²x
設(shè)t=sinx，則t∈[-1，1]，
∴h（t）=2t²+2t=2(t+

1

2

)2-

1

2

，
當t=-

1

2

時，函數(shù)取到最小值是：-

1

2

，
當t=1時，函數(shù)取到最大值是：4，
則g（x）的值域是[-

1

2

，4]．

點評：本題考查了兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及換元法求函數(shù)的最值問題．