Question

某幾何體的三視圖如圖所示，P是正方形ABCD對角線的交點，G是PB的中點．
（Ⅰ）根據三視圖，畫出該幾何體的直觀圖；
（Ⅱ）在直觀圖中，
①證明：PD∥面AGC；
②證明：面PBD⊥面AGC；
③求面PAB與面PBC的夾角的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,簡單空間圖形的三視圖,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由三視圖可知：該幾何體的直觀圖如圖所示，是一個正四棱錐，其高為

2

，底面邊長為2．
（II） ①證明：連接AC，BD交于點O，連接OG，利用三角形的中位線定理和線面平行的判定定理即可得出；
②連接PO，利用線面垂直的性質可得PO⊥AO，再利用正方形的性質可得AO⊥OB，再利用線面、面面垂直的判定即可得出．
③建立如圖所示坐標系，利用法向量的夾角即可得出二面角．

解答： 解：（Ⅰ）該幾何體的直觀圖如圖所示，是一個正四棱錐，其高為

2

，底面邊長為2． 
（II）①證明：連接AC，BD交于點O，連接OG，
∵G為PB的中點，O為BD的中點，
∴OG∥PD．
又OG?面AGC，PD?面AGC，
∴PD∥面AGC．
②連接PO，由三視圖，PO⊥面ABCD，
∴AO⊥PO．  
又AO⊥BO，PO∩OB=O．
∴AO⊥面PBD．
∵AO?面AGC，∴面PBD⊥面AGC．
③建立如圖所示坐標系，由三視圖知，PO=

2

，AB=2，AC=2

2

，AO=

2

，
∴P（0，0，

2

），B（0，

2

，0），A（

2

，0，0），
C（-

2

，0，0），

BP

=(0，-

2

，

2

)，

BA

=(

2

，-

2

，0)，

BC

=(-

2

，-

2

，0)
設面PBA的法向量為n=（x，y，z）
∴

n • BP =- 2 y+ 2 z=0 n • BA = 2 x- 2 y=0

令x=1得y=1，z=1．
∴n=（1，1，1）
設面PBC的法向量為m=（x'，y'，z'）
∴

m • BP =- 2 y′+ 2 z′=0 m • BC =- 2 x′- 2 y′=0

令x'=1得y'=-1，z'=-1∴m=（1，-1，-1）．
設面PAB與PBC的夾角為θ，
則cosθ=

m • n

| m || n |

=

1-1-1

3 × 3

=-

1

3

．
∴面PAB與PBC的夾角為余弦值為

1

3

．

點評：本題綜合考查了線面、面面平行與垂直的判定、性質，考查了空間角，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．