Question

已知函數f（x）=xcosx-sinx+1（x＞0）．
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）記x_i為f（x）的從小到大的第i（i∈N^*）個零點，證明：對一切n∈N^*，有

1

x 2 1

+

1

x 2 2

+…+

1

x 2 n

＜

2

3

．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求函數的導數，利用導數研究f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）利用放縮法即可證明不等式即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=xcosx-sinx+1（x＞0），
∴f′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，
由f′（x）=-xsinx=0，解得x=kπ（k∈N^*），
當x∈（2kπ，（2k+1）π）（k∈N），sinx＞0，此時f′（x）＜0，函數單調遞減，
當x∈（（2k+1）π，（2k+2）π）（k∈N），sinx＜0，此時f′（x）＞0，函數單調遞增，
故f（x）的單調增區(qū)間為（（2k+1）π，（2k+2）π），k≥0，單調遞減區(qū)間為（2kπ，（2k+1）π），k≥0．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在區(qū)間（0，π）上單調遞減，
又f（

π

2

）=0，故x₁=

π

2

，
當n∈N^*，
∵f（nπ）f（（n+1）π）=[（-1）ⁿnπ+1][（-1）ⁿ⁺¹（n+1）π+1]＜0，
且函數f（x）的圖象是連續(xù)不間斷的，
∴f（x）在區(qū)間（nπ，（n+1）π）內至少存在一個零點，
又f（x）在區(qū)間（nπ，（n+1）π）是單調的，
故nπ＜x_n+1＜（n+1）π，
因此當n=1時，有

1

x 2 1

=

4

π2

＜

2

3

成立．
當n=2時，有

1

x 2 1

+

1

x 2 2

＜

1

π2

(4+1)＜

2

3

．
…

1

x 2 1

+

1

x 2 2

+…+

1

x 2 n

＜

1

π2

[4+1+

1

22

+…+

1

(n-1)2

]＜

1

π2

[5+

1

1×2

+…+

1

(n-2)(n-1)

]＜

1

π2

[5+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-2

-

1

n-1

]
＜

1

π2

（6-

1

n-1

）＜

6

π2

＜

2

3

．
綜上證明：對一切n∈N^*，有

1

x 2 1

+

1

x 2 2

+…+

1

x 2 n

＜

2

3

．

點評：本題主要考查函數單調性的判定和證明，以及利用導數和不等式的綜合，利用放縮法是解決本題的關鍵，綜合性較強，運算量較大．