(理科)(本小題滿(mǎn)分12分)如圖分別是正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的直觀圖和正視圖,O,O1分別是上下底面的中心,E是BC中點(diǎn).
(1)求正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的體積;
(2)求平面EA1B1與平面A1B1C1的夾角的余弦;
(3)若P是棱A1C1上一點(diǎn),求CP+PB1的最小值.
(1);
(2);(3)最小值為。
解析試題分析:(1)由題意,正三棱臺(tái)高為 ..2分
..4分
(2)設(shè)分別是上下底面的中心,是中點(diǎn),是中點(diǎn).以 為原點(diǎn),過(guò)平行的線為軸建立空間直角坐標(biāo)系. ,, ,,,,,
設(shè)平面的一個(gè)法向量,則即
取,取平面的一個(gè)法向
量,設(shè)所求角為
則 ..8分
(3)將梯形繞旋轉(zhuǎn)到,使其與成平角
,由余弦定理得
即的最小值為 ..13分
考點(diǎn):本題主要考查立體幾何中的體積計(jì)算、角的計(jì)算。
點(diǎn)評(píng):中檔題,立體幾何題,是高考必考內(nèi)容,往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問(wèn)題中,有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法,要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟。利用向量則簡(jiǎn)化了證明過(guò)程,對(duì)計(jì)算能力要求高。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,AE⊥平面ABC,AE∥BD,AB=BC=CA=BD=2AE,F(xiàn)為CD中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:EF⊥平面BCD;
(Ⅱ)求二面角C-DE-A的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,正方形ABCD所在平面與圓O所在平面相交于CD,線段CD為圓O的弦,AE垂直于圓O所在平面,垂足E是圓O上異于C、D的點(diǎn),AE=3,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為.
(1)求證:平面ABCD丄平面ADE;
(2)求四面體BADE的體積;
(3)試判斷直線OB是否與平面CDE垂直,并請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖1,在Rt中, ,.D、E分別是上的點(diǎn),且.將沿折起到的位置,使,如圖2.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)若,求與平面所成角的正弦值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,矩形ABCD中,AB=3,BC=4.E,F(xiàn)分別在線段BC和AD上,EF//AB,將矩形ABEF沿EF折起.記折起后的矩形為MNEF,且平面MNEF⊥平面ECDF.
(1)求證:NC∥平面MFD;
(2)若EC=3,求證:ND⊥FC;
(3)求四面體NFEC體積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
長(zhǎng)方體中,底面是正方形,,是上的一點(diǎn).
⑴求異面直線與所成的角;
⑵若平面,求三棱錐的體積;
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如下圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).
(1)求證:AC⊥BC1;
(2)求證:AC1∥平面CDB1;
(3)求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在四邊形中,,,點(diǎn)為線段上的一點(diǎn).現(xiàn)將沿線段翻折到(點(diǎn)與點(diǎn)重合),使得平面平面,連接,.
(Ⅰ)證明:平面;
(Ⅱ)若,且點(diǎn)為線段的中點(diǎn),求二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=6,點(diǎn)E、F分別在棱BB1、CC1上,且BE=BB1,C1F=CC1.
(1)求異面直線AE與A1 F所成角的大小;
(2)求平面AEF與平面ABC所成角的余弦值.
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