Question

定義在（-∞，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x）．
（1）若f（x）是偶函數(shù)，且當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=x+1，求f（x）在（1，2）上的解析式；
（2）若f（1+x）=f（1-x），判斷函數(shù)f（x）的奇偶性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)f（x+2）=f（x），f（x）是偶函數(shù)，得出函數(shù)的周期，結(jié)合函數(shù)的圖象，設(shè)出函數(shù)的表達(dá)式，從而求出f（x）的解析式；
（2）根據(jù)f（1+x）=f（1-x）得出函數(shù)的對稱軸，從而得出函數(shù)是偶函數(shù)．

解答： 解：（1）∵f（x+2）=f（x），f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x）的周期是2，函數(shù)在（0，1）的圖象與在（-1，0）的圖象關(guān)于y軸對稱，
畫出函數(shù)f（x）的圖象，如圖示：
，
設(shè)f（x）=kx+b，把（1，2），（2，1）代入表達(dá)式得：
f（x）=-x+3，x∈（1，2）；
（2）∵f（1+x）=f（1-x），
∴函數(shù)f（x）的對稱軸是x=1，
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性，是一道中檔題．