Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+k（k＞0）在x=0處取得極值，且曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線垂直于直線x+2y+1=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若函數(shù)，討論g（x）的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因?yàn)椤焙瘮?shù)在x=0處取得極值“，則有f'（0）=0，再由“曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線x-2y+1=0相互垂直”，則有f'（1）=2，從而求解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得到：，令g'（x）=0，有x²-2x+k=0，因?yàn)檫�有參數(shù)k，由一元二次方程，分三種情況討論，（1）當(dāng)△=4-4k＜0，函數(shù)g（x）在R上為增函數(shù)，（2）當(dāng)△=4-4k=0，g（x）在R上為增函數(shù)（3）△=4-4k＞0，方程x²-2x+k=0有兩個(gè)不相等實(shí)根，則由其兩根來(lái)構(gòu)建單調(diào)區(qū)間．
解答：解：（Ⅰ）因f（x）=ax²+bx+k（k＞0），故f'（x）=2ax+b又f（x）在x=0處取得極限值，故f'（x）=0，從而b=0由曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線x-2y+1=0相互垂直可知
該切線斜率為2，
即f'（1）=2，有2a=2，從而a=1（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
、
令g'（x）=0，有x²-2x+k=0（8分）
（1）當(dāng)△=4-4k＜0，即當(dāng)k＞1時(shí)，g'（x）＞0在R上恒成立，故函數(shù)g（x）在R上為增函數(shù)（10分）
（2）當(dāng)△=4-4k=0，即當(dāng)k=1時(shí)，，K=1時(shí)，g（x）在R上為增函數(shù)（12分）
（3）△=4-4k＞0，即當(dāng)0＜k＜1時(shí)，方程x²-2x+k=0有兩個(gè)不相等實(shí)根
當(dāng)是g'（x）＞0，故g（x）在上為增函數(shù)
當(dāng)時(shí)，g'（x）＜0，故g（x）在上為減函數(shù)
當(dāng)時(shí)，g'（x）＞0，故g（x）在上為增函數(shù)（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的極值及函數(shù)的單調(diào)性．綜合性較強(qiáng)，充分考查了函數(shù)方程不等式三者的內(nèi)在聯(lián)系與轉(zhuǎn)化．