Question

已知橢圓C：，兩直線l₁：x=-，l₂：x=，直線l₁為拋物線E：y²=16x的準線，直線l：x+2y-4=0與橢圓相切。
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)如果橢圓C的左頂點為A，右焦點為F，過F的直線與橢圓C交于P，Q兩點，直線AP，AQ與直線l₂分別交于N，M兩點，求證：四邊形MNPQ的對角線的交點是定點。

Answer 1

(Ⅰ)解：由題知，拋物線y²=16x的準線方程為x=-4，

 設橢圓的右焦點為F（c，0），其中，
則，即，①
由，消去x，得，
由于直線x+2y-4=0與橢圓C相切，
所以，
即4b²+a²-16=0，
所以4（a²-c²）+a²-16=0，
整理得5a²-4c²-16=0， ②
將①代人②，得5×4c-4c²-16=0，即c²-5c+4=0，解得c=1或4，
由于，所以c=1，
所以，所以橢圓C的方程為。
(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)知，A（-2，0），F(1，0)，
直線l₂的方程為x=4，
根據橢圓的對稱性，當直線PQ⊥x軸時，四邊形MNPQ是等腰梯形，對角線PM，ON的交點在x軸上，

 此時，直線PQ的方程為x=1，
由，得，
不妨取，故直線AP的方程為，
將x=4代入，得N（4，3），所以，直線QN的方程為，
令y=0，得x=2，即直線QN與x軸的交點為R(2，0)，
此點恰為橢圓的右頂點．
下面只要證明，在一般情況下Q，N，R三點共線即可．
設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，N(4，y₃)，M(4，y₄)，直線PQ的方程為x=my+1，
由消去x，得，
所以，，
因為三點共線，
所以，與共線，
所以，即，
由于，，
所以，

所以，共線，即Q，N，R三點共線。
同理可證，P，M，R三點共線。
所以，四邊形MNPQ的對角線的交點是定點，此定點恰為橢圓的右頂點。