Question

已知點(diǎn)A為圓（x+1）²+y²=8的圓心，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M在圓的半徑AP上，且有點(diǎn)B（1，0）和BP上的點(diǎn)N，滿足

MN

•

BP

=0，

BP

=2

BN

．
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）若直線y=kx+

k2+1

（k＞0）與（Ⅰ）中所求的點(diǎn)M的軌跡交于不同的兩點(diǎn)F和H，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且

2

3

≤

OF

•

OH

≤

3

4

，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)A，B為焦點(diǎn)，半焦距c=1，半長(zhǎng)軸a=

2

的橢圓，由此能求出點(diǎn)M的軌跡方程．
（Ⅱ）設(shè)F（x₁，y₁），H（x₂，y₂），由

x2 2 +y2=1 y=kx+ k2+1

，（k＞0），得(2k2+1)x2+4k

k2+1

x+2k2=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、向量數(shù)量積結(jié)合已知條件能求出k的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知MN是線段BP的垂直平分線，
∴|AP|=|AM|+|MP|=|MA|+|MB|=2

2

＞|AB|=2，
∴點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)A，B為焦點(diǎn)，半焦距c=1，
半長(zhǎng)軸a=

2

的橢圓，半短軸b=

a2-c2

=1，
∴點(diǎn)M的軌跡方程是

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）設(shè)F（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
由

x2 2 +y2=1 y=kx+ k2+1

，（k＞0），得(2k2+1)x2+4k

k2+1

x+2k2=0，
△=8k²＞0，x1+x2=-

4k k2+1

2k2+1

，x1x2=

2k2

2k2+1

，
∴

OF

•

OH

=x₁x₂+y₁y₂
=x1x2+(kx1+

k2+1

)(kx2+

k2+1

)
=(k2+1)x1x2+k

k2+1

(x1+x2)+  k2 +1
=(k2+1)•

2k2

2k2+1

-k•

k2+1

•

4k k2+1

2k2+1

+k²+1
=

k2+1

2k2+1

，
∴

2

3

≤

k2+1

2k2+1

≤

3

4

，即

1

2

≤k2≤1，
解得

2

2

≤k≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量知識(shí)的合理運(yùn)用．