Question

（2009•惠州模擬）（1）已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，滿足f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值是-

1

4

，求f（x）的解析式；
（2）設(shè)f（x）=x²-2ax+2，當(dāng)x∈[-1，+∞）時(shí)，f（x）≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求a，b，c．
（2）要求當(dāng)x∈[-1，+∞）時(shí)，f（x）≥a恒成立，實(shí)質(zhì)是求函數(shù)f（x）在[-1，+∞）上的最小值即可．

解答：解：（1）由二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性，可設(shè)f(x)=a(x-

1

2

)2-

1

4

，（a＞0）
又f（0）=0，∴a=1．
故f（x）=x²-x…（4分）
（2）要使x∈[-1，+∞），f（x）≥a恒成立?f（x）_min≥a，
當(dāng)a≤-1時(shí)，f（x）_min=f（-1）=3+2a…（6分）
即3+2a≥a?a≥-3
故此時(shí)-3≤a≤-1…（8分）
當(dāng)a＞-1時(shí)，f(x)min=f(a)=a2-2a2+2=2-a2，
若x∈[-1，+∞），f（x）≥a恒成立?f（x）_min≥a，
即2-a²≥a?a²+a-2≤0?-2≤a≤1
故此時(shí)-1＜a≤1…（12分）
綜上當(dāng)-3≤a≤-1時(shí)，x∈[-1，+∞），f（x）≥a恒成立             …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值求法，要求利用數(shù)形結(jié)合的思想去求解．