【題目】已知等差數(shù)列的公差不為零,且、成等比數(shù)列,數(shù)列滿足

1)求數(shù)列、的通項公式;

2)求證:.

【答案】1,,;(2)證明見解析.

【解析】

1)設等差數(shù)列的公差為,運用等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的中項性質(zhì),解方程可得首項和公差,進而得到,可令,求得,再將換為,相減可得;

2)原不等式轉(zhuǎn)化為,應用數(shù)學歸納法證明,注意檢驗時不等式成立,再假設時不等式成立,證明時,不等式也成立,注意運用分析法證明.

1)等差數(shù)列的公差不為零,,可得,

、、成等比數(shù)列,可得,即,

解方程可得,則.

數(shù)列滿足,可得,

時,由,

可得,

相減可得,則,也適合,則;

2)證明:不等式即為

,

下面應用數(shù)學歸納法證明.

i)當時,不等式的左邊為,右邊為,左邊右邊,不等式成立;

ii)假設時,不等式成立,

時,

要證,

只要證,

即證,

即證,

,可得上式成立,可得時,不等式也成立.

綜上可得,對一切,,

.

練習冊系列答案
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