Question

10．三棱錐S-ABC及其三視圖中的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則該三棱錐S-ABC的外接球的表面積為（　�。�

• A． 32π
• B． $\frac{112π}{3}$
• C． $\frac{28π}{3}$
• D． $\frac{64}{3}$π

Answer 1

分析 由三視圖畫出幾何體的直觀圖，由三視圖判斷出SC⊥平面ABC、△ABC的形狀，取AC中點(diǎn)F并連BF，由線面垂直的定義和勾股定理求出BC，求出△ABC的外接圓的半徑，列出方程求出三棱錐外接球的半徑，由球的表面積公式求出答案．

解答 解：由三視圖可得：SC⊥平面ABC，且底面△ABC為正三角形，
如圖所示，取AC中點(diǎn)F，連BF，則BF⊥AC，
在Rt△BCF中，BF=2$\sqrt{3}$，CF=2，BC=4，
在Rt△BCS中，CS=4，所以BS=4$\sqrt{2}$．
設(shè)球心到平面ABC的距離為d，
因?yàn)镾C⊥平面ABC，且底面△ABC為正三角形，
所以該三棱錐S-ABC的外接球是對(duì)應(yīng)三棱柱的外接球，
則球心到平面ABC的距離是SC的一半，即d=2，
因?yàn)椤鰽BC的外接圓的半徑為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
所以由勾股定理可得R²=d²+（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{28}{3}$，
則該三棱錐外接球的半徑R=$\sqrt{\frac{28}{3}}$，
所以三棱錐外接球的表面積是4πR²=$\frac{112π}{3}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的三視圖，線面垂直的定義，以及幾何體外接球問題，由三視圖正確還原幾何體、以及判斷幾何體位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．