Question

14．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n²+2a_n=4S_n．
（1）求S_n；
（2）設(shè)b_n=（$\sqrt{n+1}$+$\sqrt{n}$）•$\sqrt{S_n}$，求數(shù)列{${\frac{1}{b_n}}\right.$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出；
（2）利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}a_n^2+2{a_n}=4{S_n}\\ a_{n+1}^2+2{a_{n+1}}=4{S_{n+1}}\end{array}\right.$，
兩式作差得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，又?jǐn)?shù)列{a_n}的各項(xiàng)都為正數(shù)，
∴a_n+1-a_n-2=0，即a_n+1-a_n=2，
當(dāng)n=1時(shí)，有${a}_{1}^{2}+2{a}_{1}$=4a₁，解得a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為2．∴S_n=2n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²+n．
（2）∵b_n=（$\sqrt{n+1}$+$\sqrt{n}$）•$\sqrt{S_n}$=（$\sqrt{n+1}$+$\sqrt{n}$）$•\sqrt{n（n+1）}$，
∴$\frac{1}{b_n}=\frac{1}{{（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）}}•\frac{1}{{\sqrt{S_n}}}=\frac{{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}}{{\sqrt{n（n+1）}}}=\frac{1}{{\sqrt{n}}}-\frac{1}{{\sqrt{n+1}}}$，
∴${T_n}=\sum_{i=1}^n{\frac{1}{b_i}}=\sum_{i=1}^n{（\frac{1}{{\sqrt{i}}}-\frac{1}{{\sqrt{i+1}}}）=1-\frac{1}{{\sqrt{n+1}}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．