Question

5．在下列給出的命題中，所有正確的命題的序號為②③．
①若△ABC為銳角三角形，則sinA＜cosB；
②在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為B₁C₁的中點，若P點在正方形ABB₁A₁邊界及內(nèi)部運(yùn)動，且MP⊥DB₁，則P點軌跡長等于$\sqrt{2}$；
③已知M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）為不同兩點，直線l：ax+by+c=0，若$\frac{a{x}_{1}+b{y}_{1}+c}{a{x}_{2}+b{y}_{2}+c}$=-1，則直線l經(jīng)過線段MN的中點；
④在△ABC中，BC=5，G、O分別為△ABC的重心和外心，且$\overline{OG}$•$\overline{BC}$=5，則△ABC是直角三角形．

Answer 1

分析 ①根據(jù)銳角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可．
②根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，確定P的運(yùn)動軌跡即可．
③根據(jù)直線方程關(guān)系，進(jìn)行轉(zhuǎn)化推理即可．
④根據(jù)三角形的外心和重心的性質(zhì)結(jié)合向量數(shù)量積的公式進(jìn)行化簡轉(zhuǎn)化即可．

解答 解：①若△ABC為銳角三角形，則0＜A＜$\frac{π}{2}$，0＜B＜$\frac{π}{2}$，0＜C＜$\frac{π}{2}$，即0＜π-A-B＜$\frac{π}{2}$，
即A+B＞$\frac{π}{2}$，∴B＞$\frac{π}{2}$-A，
∴0＜$\frac{π}{2}$-A＜B＜$\frac{π}{2}$，即cos（$\frac{π}{2}$-A）＞cosB，
∴cosB＜sinA，故①錯誤，
②如圖1，取A₁B₁的中點N，BB₁的中點Q，
則DB₁⊥平面NMQ，
即P點軌跡是線段NQ，
∵在正方形ABB₁A₁邊界及內(nèi)部運(yùn)動，且MP⊥DB₁，則P點軌跡長等于$\sqrt{2}$；故②正確，
③由$\frac{a{x}_{1}+b{y}_{1}+c}{a{x}_{2}+b{y}_{2}+c}$=-1得ax₁+by₁+c=-（ax₂+by₂+c），
即a（x₁+x₂）+b（y₁+y₂）+2c=0，
即a（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）+b（$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）+c=0，
即直線l經(jīng)過線段MN的中點；故③正確，
④在△ABC中，G，O分別為△ABC的重心和外心，
取BC的中點為D，連接AD、OD、GD，如圖2：
則OD⊥BC，GD=$\frac{1}{3}$AD，
∵$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DG}$，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$），
由$\overrightarrow{OG}$•$\overrightarrow{BC}$=5，
則（$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DG}$）$•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{DG}•\overrightarrow{BC}$=$-\frac{1}{6}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）$•\overrightarrow{BC}$=5，
即-$\frac{1}{6}$•（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$）=5，
則${\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{AB}}^{2}$=-30，
又BC=5，
則有|$\overrightarrow{AB}$|²=|$\overrightarrow{AC}$|²+$\frac{6}{5}$|$\overrightarrow{BC}$|²＞|$\overrightarrow{AC}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²，
由余弦定理可得cosC＜0，
即有C為鈍角．則三角形ABC為鈍角三角形；故④錯誤，
故答案為：②③

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．