Question

7．已知△ABC的三個(gè)角∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c．
（1）若sinA•cosB=sinC，試判斷△ABC的形狀；
（2）若A=$\frac{π}{3}$，求sin²B+sin²C的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意和和差角的三角函數(shù)以及三角形的邊角關(guān)系可判△ABC為直角三角形；
（2）可由題意可得C=$\frac{2π}{3}$-B且B∈（0，$\frac{2π}{3}$），代入并由三角函數(shù)公式化簡可得sin²B+sin²C=sin²B+sin²（$\frac{2π}{3}$-B）=1+$\frac{1}{2}$sin（2B-$\frac{π}{6}$），由B的范圍和涉及函數(shù)的最值可得．

解答 解：（1）∵△ABC中，sinA•cosB=sinC，
∴sinA•cosB=sinC=sin（A+B）
∴sinA•cosB=sinAcosB+cosAsinB，
∴cosAsinB=0，在三角形中sinB＞0，
∴cosA=0，A=$\frac{π}{2}$，故△ABC為直角三角形；
（2）∵A=$\frac{π}{3}$，∴C=$\frac{2π}{3}$-B，∴B∈（0，$\frac{2π}{3}$），
∴sin²B+sin²C=sin²B+sin²（$\frac{2π}{3}$-B）
=sin²B+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB）²
=sin²B+$\frac{3}{4}$cos²B+$\frac{1}{4}$sin²B+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinBcosB
=$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{2}$sin²B+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinBcosB
=$\frac{3}{4}$+$\frac{1-cos2B}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2B
=1+$\frac{1}{2}$sin（2B-$\frac{π}{6}$）
∵B∈（0，$\frac{2π}{3}$），∴2B-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
∴sin（2B-$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1]，
∴$\frac{1}{2}$sin（2B-$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]，
∴1+$\frac{1}{2}$sin（2B-$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$]，
∴sin²B+sin²C的取值范圍為（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$]

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角形形狀的判定和三角函數(shù)的最值，屬中檔題．