Question

16．已知集合A={f（x）|f（x）=xlnx+a}和B={h（x）|h（x）=-x²-$\frac{4}{\sqrt{e}}$x-$\frac{5}{e}$}的交集有且只有2個子集．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若對于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x²-1）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意，兩集合的交集中只含有一個元素，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）的最小值，根據(jù)二次函數(shù)求出h（x）的最大值，問題的得以解決，
（2）由題意xlnx≤m（x²-1）恒成立，即lnx≤m（x-$\frac{1}{x}$），分x=1時，當(dāng)x＞1時，分離參數(shù)m≥$\frac{lnx}{x-\frac{1}{x}}$，利用極限的思想求出函數(shù)的最小值．問題得以解決．

解答 解：（1）由題意，兩集合的交集中只含有一個元素，
∵f'（x）=lnx+1，
∴f'（0）=0，
∴x=$\frac{1}{e}$，
∴當(dāng)x＞$\frac{1}{e}$時，f'（x）＞0，
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{e}$時，f′（x）＜0，
∴f（x）在x=$\frac{1}{e}$處取得極小值，也是最小值，
∴f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$+a，
∵h(yuǎn)（x）=-x²-$\frac{4}{\sqrt{e}}$x-$\frac{5}{e}$=-（x+$\frac{2}{\sqrt{e}}$）²-$\frac{1}{e}$，
∴h（x）_max=h（-$\frac{2}{\sqrt{e}}$）=-$\frac{1}{e}$，
∴-$\frac{1}{e}$+a=-$\frac{1}{e}$，
∴a=0，
（2）對任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x²-1）恒成立，
即xlnx≤m（x²-1）恒成立，
∴l(xiāng)nx≤m（x-$\frac{1}{x}$），
當(dāng)x=1時，0=0成立，
當(dāng)x＞1時，x-$\frac{1}{x}$＞0，
∴m≥$\frac{lnx}{x-\frac{1}{x}}$，
設(shè)g（x）=$\frac{lnx}{x-\frac{1}{x}}$，
∴$\underset{lim}{n→1}$=$\frac{lnx}{x-\frac{1}{x}}$=$\underset{lim}{n→1}$=$\frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{{x}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
綜上所述m≥$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的最值問題，以及恒成立的問題，利用導(dǎo)數(shù)和極限思想是關(guān)鍵，屬于中檔題．