由坐標(biāo)原點(diǎn)O向函數(shù)y=x3-3x2的圖象W引切線l1,切點(diǎn)為P1(x1,y1)(P1,O不重合),再由點(diǎn)P1引W的切線l2,切點(diǎn)為P2(x2,y2)(P1,P2不重合),…,如此繼續(xù)下去得到點(diǎn)列{Pn(xn,yn)}.
(Ⅰ)求x1的值;
(Ⅱ)求xn與xn+1滿足的關(guān)系式;
(Ⅲ)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式.
分析:(Ⅰ)由y=x3-3x2,知y′=3x2-6x.再由切線l1的方程為y-(x13-3x12)=(3x12-6x1)(x-x1)過點(diǎn)O(0,0),知-(x13-3x12)=-x1(3x12-6x1),由此能求出x1的值.
(Ⅱ)由過點(diǎn)Pn+1(xn+1,yn+1)的切線ln+1的方程為y-(xn+13-3xn+12)=(3xn+12-6xn+1)(x-xn+1)過點(diǎn)Pn(xn,yn),知(xn-xn+12(xn+2xn+1-3)=0,由此能求出xn與xn+1滿足的關(guān)系式.
(Ⅲ)由xn+1=-
1
2
xn+
3
2
,知xn+1-1=-
1
2
(xn-1)
,
∴{xn-1}是以x1-1=
1
2
為首項(xiàng),-
1
2
為公比的等比數(shù)列,由此能求出數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式.
解答:解:(Ⅰ)∵y=x3-3x2,∴y′=3x2-6x.
∵過點(diǎn)P1(x1,y1)的切線l1的方程為y-(x13-3x12)=(3x12-6x1)(x-x1),
又l1過點(diǎn)O(0,0),
∴-(x13-3x12)=-x1(3x12-6x1),
∴2x13=3x12,∴x1=
3
2
或x1=0.∵P1與O不重合,
x1=
3
2
.(5分)
(Ⅱ)∵過點(diǎn)Pn+1(xn+1,yn+1)的切線ln+1的方程為y-(xn+13-3xn+12)=(3xn+12-6xn+1)(x-xn+1),
又ln+1過點(diǎn)Pn(xn,yn),
∴xn3-3xn2-(xn+13-3xn+12)=(3xn+12-6xn+1)(xn-xn+1),
整理得(xn-xn+12(xn+2xn+1-3)=0,
由已知得xn≠xn+1,
∴xn+2xn+1=3.(10分)
(Ⅲ)∵xn+1=-
1
2
xn+
3
2

xn+1-1=-
1
2
(xn-1)
,
∴{xn-1}是以x1-1=
1
2
為首項(xiàng),-
1
2
為公比的等比數(shù)列,
xn-1=
1
2
(-
1
2
)n-1
,
xn=1-(-
1
2
)n
.(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
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由坐標(biāo)原點(diǎn)O向函數(shù)y=x3-3x2的圖象W引切線l1,切點(diǎn)為P1(x1,y1)(P1,O不重合),再由點(diǎn)P1的切線l2,切點(diǎn)為P2(x2,y2)(P1,P2不重合),如此繼續(xù)下去得到點(diǎn)列{Pn(xn,yn)}

(1)

求x1的值;

(2)

求xn與xn+1滿足的關(guān)系式;

(3)

求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

由坐標(biāo)原點(diǎn)O向函數(shù)y=x3 -3x2的圖象W引切線l1,切點(diǎn)P1(x1,y1) (P1,O不重合),再由點(diǎn)P1引W的切線l2,切點(diǎn)為P2(x2,y2) (P1, P2不重合),…,如此繼續(xù)下去得到點(diǎn)列{Pn(xn,yn)}.

(1)求x1的值;

(2)求xnxn+1滿足的關(guān)系式;

(3)求的值。

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