Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+x+2．
（Ⅰ）若a=-1，令函數(shù)g（x）=2x-f（x），求函數(shù)g（x）在（-1，2）上的極大值、極小值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在上恒為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)g（x）=2x-f（x）的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出其極大值、極小值；
（Ⅱ）先求出其導(dǎo)函數(shù)，把函數(shù)f（x）在上恒為單調(diào)遞增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)的最小值恒大于等于0，利用二次函數(shù)在固定區(qū)間上求最值的方法求出導(dǎo)函數(shù)的最小值，再與0比即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）g（x）=2x-（x³-x²+x+2）=-x³+x²+x-2，所以g'（x）=-3x²+2x+1
由g'（x）=0得或x=1（12分）

x				1	（1，+∞）
g'（x）	-		+		-
g（x）	↘		↗	-1	↘

所以函數(shù)g（x）在處取得極小值；在x=1處取得極大值-（16分）
（Ⅱ）因?yàn)閒'（x）=3x²+2ax+1的對稱軸為
（1）若即a≤1時(shí)，要使函數(shù)f（x）在上恒為單調(diào)遞增函數(shù)，則有△=4a²-12≤0，解得：，所以；（8分）
（2）若即a＞1時(shí)，要使函數(shù)f（x）在上恒為單調(diào)遞增函數(shù)，則有，解得：a≤2，所以1＜a≤2；（10分）
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（12分）
點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)函數(shù)來研究函數(shù)的極值．在利用導(dǎo)函數(shù)來研究函數(shù)的極值時(shí)，分三步①求導(dǎo)函數(shù)，②求導(dǎo)函數(shù)為0的根，③判斷根左右兩側(cè)的符號，若左正右負(fù)，原函數(shù)取極大值；若左負(fù)右正，原函數(shù)取極小值．