Question

13．如圖，圓O是△ABC的外接圓，PA垂直圓O所在的平面，PA=4，AC=2，Q是圓O上的動(dòng)點(diǎn)，∠AQC=30°，則四棱錐P-ABQC外接球的表面積為32π．

Answer 1

分析 由題意，確定四邊形ABQC的外接圓的直徑為4，P-ABQC外接球的球心在過O點(diǎn)，且垂直于圓O所在平面的直線l上，在Rt△AOO′中，利用勾股定理求出R，即可求出P-ABQC外接球的表面積．

解答 解：∵AC=2，Q是圓O上的動(dòng)點(diǎn)，∠AQC=30°，
∴四邊形ABQC的外接圓的直徑為4．
由題意，P-ABQC外接球的球心在過O點(diǎn)，且垂直于圓O所在平面的直線l上，
則l∥PA，
設(shè)球心為O′，外接圓的半徑為R，故O′A=O′P=R，且OO′=$\frac{1}{2}$PA=2．
在Rt△AOO′中，R²=2²+2²=8，
所以P-ABQC外接球的表面積為4πR²=32π．
故答案為：32π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查P-ABQC外接球的表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定球心與半徑是關(guān)鍵．