4．正四面體ABCD中，AB=CD=5，BC=AD=7，AC=BD=8，則外接球表面積為69π．

分析 由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體ABCD的四個(gè)面為全等的三角形，所以可在其每個(gè)面補(bǔ)上一個(gè)以5，7，8為三邊的三角形作為底面，且以分別為x，y，z，長(zhǎng)、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐，從而可得到一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為x，y，z的長(zhǎng)方體，由此能求出球的半徑，進(jìn)而求出球的表面積．

解答 解：由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體ABCD的四個(gè)面為全等的三角形，
所以四面體擴(kuò)充為一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為x，y，z的長(zhǎng)方體，且面上的對(duì)角線分別為5，7，8，
并且x2+y2=25，x2+z2=49，y2+z2=64，
設(shè)球半徑為R，則有（2R）2=x2+y2+z2=69，
∴4R2=69，
∴球的表面積為S=4πR2=69π．
故答案為：69π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的外接球的表面積的求法，割補(bǔ)法的應(yīng)用，判斷外接球的直徑是長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵之一．

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