Question

5．過雙曲線y=$\frac{k}{x}$（常數(shù)k＞0）上任意一點A作AE∥x軸交y軸于E，作AF∥y軸交x軸于F，得到矩形AEOF，設它的面積為S，則S=k，k是與點A位置無關的常數(shù)，試把這個結論推廣到一般雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），并證明你的推廣．

Answer 1

分析 過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上任意一點A作漸近線bx±ay=0的平行線，交點分別為E，F(xiàn)，則四邊形AEOF的面積為$\frac{1}{2}$ab，利用平行四邊形的面積公式，即可得出結論．

解答 解：過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上任意一點A作漸近線bx±ay=0的平行線，交點分別為E，F(xiàn)，則四邊形AEOF的面積為$\frac{1}{2}$ab
設A（m，n），則直線AE的方程為y-n=-$\frac{a}$（x-m）與y=$\frac{a}$x，可得E（$\frac{an+bm}{2b}$，$\frac{an+bm}{2a}$），
∴A到OE的距離為d=$\frac{|bm-an|}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{|bm-an|}{c}$，
∴四邊形AEOF的面積為$\frac{1}{2}\sqrt{（\frac{an+bm}{2b}）^{2}+（\frac{an+bm}{2a}）^{2}}$×$\frac{|bm-an|}{c}$=$\frac{1}{2}$ab．

點評 本題考查類比推理，考查學生的計算能力，屬于中檔題．