Question

16．若一個(gè)三角形具有以下兩個(gè)性質(zhì)：（1）三邊是連續(xù)的三個(gè)自然數(shù)；（2）最大角是最小角的2倍．則這個(gè)三角形的最大邊所對角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{1}{7}$
• B． $\frac{1}{8}$
• C． -$\frac{1}{8}$
• D． -$\frac{1}{7}$

Answer 1

分析 設(shè)三角形的三邊分別為n-1，n，n+1，對應(yīng)的角分別為A、B、C，由題意和正弦定理可得cosA=$\frac{n+1}{2（n-1）}$，再由由余弦定理可得cosA=$\frac{n+4}{2（n+1）}$，可得$\frac{n+1}{2（n-1）}$=$\frac{n+4}{2（n+1）}$，解方程可得a值，可得三邊長，由余弦定理可得．

解答 解：設(shè)三角形的三邊分別為n-1，n，n+1，對應(yīng)的角分別為A、B、C，
則A＜B＜C，由題意可得C=2A，
由正弦定理可得$\frac{n-1}{sinA}$=$\frac{n+1}{sinC}$=$\frac{n+1}{2sinAcosA}$，∴cosA=$\frac{n+1}{2（n-1）}$，
又由余弦定理可得cosA=$\frac{{n}^{2}+（n+1）^{2}-（n-1）^{2}}{2n（n+1）}$=$\frac{n+4}{2（n+1）}$，
∴$\frac{n+1}{2（n-1）}$=$\frac{n+4}{2（n+1）}$，化簡可得n²-5n=0解得n=5
∴三角形的三邊分別為4，5，6，
∴三角形的最大邊所對角的余弦值cosC=$\frac{{4}^{2}+{5}^{2}-{6}^{2}}{2×4×5}$=$\frac{1}{8}$
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查解三角形，涉及正余弦定理和三角形的邊角關(guān)系，屬中檔題．