Question

1．已知函數(shù)f（x）=e^x（sinx+cosx）+a，g（x）=（a²-a+10）e^x（a為常數(shù)）．
（1）已知a=0，求曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程；
（2）當(dāng)0≤x≤π時(shí)，求f（x）的值域；
（3）若存在x₁、x₂∈[0，π]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜13-e${\;}^{\frac{π}{2}}$成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=0時(shí)的導(dǎo)數(shù)，再求出f（0），然后利用直線方程的點(diǎn)斜式得答案；
（2）由原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的符號確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求得原函數(shù)的極大值點(diǎn)，得到函數(shù)的最大值，再求出端點(diǎn)值得答案；
（3）由a²-a+10＞0，得g（x）在[0，π]上是增函數(shù)，從而求得g（x）的值域．由題意得到a2-a+10-（${e}^{\frac{π}{2}}$+a）＜13-${e}^{\frac{π}{2}}$，求解關(guān)于a的不等式得答案．

解答 解：（1）a=0時(shí)，f（x）=e^x（sinx+cosx），
f′（x）=e^x（sinx+cosx）+e^x（cosx-sinx）=2e^xcosx，
∴f′（0）=2，f（0）=1，
∴切線方程為：y-1=2（x-0），即2x-y+1=0為所求的切線方程；
（2）由f′（x）=2e^xcosx≥0，得0≤x≤$\frac{π}{2}$，f′（x）=2e^xcosx≤0，得$\frac{π}{2}$≤x≤π．
∴y=f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增，在[$\frac{π}{2}$，π]上單調(diào)遞減．
∴y_max=f（$\frac{π}{2}$）=${e}^{\frac{π}{2}}$+a．
f（0）=1+a，f（π）=-e^π+a＜f（0），y_min=f（π）=-e^π+a，
∴f（x）的值域?yàn)閇-e^π+a，${e}^{\frac{π}{2}}$+a]；
（3）∵a²-a+10＞0，∴g（x）在[0，π]上是增函數(shù)，
g（0）=a²-a+10，g（π）=（a²-a+10）e^π，
∴g（x）的值域?yàn)閇a²-a+10，（a²-a+10）e^π]．
∵a2-a+10-（${e}^{\frac{π}{2}}$+a）=（a-1）²+（9-${e}^{\frac{π}{2}}$）＞0，
依題意，a²-a+10-（${e}^{\frac{π}{2}}$+a）＜13-${e}^{\frac{π}{2}}$，
即a²-2a-3＜0，解得：-1＜a＜3．

點(diǎn)評 本題主要考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用意識，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等，是壓軸題．