Question

已知函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x均有f（x）=-2f（x+2），且f（x）在區(qū)間[0，2]上有表達式f（x）=x（x-2）．
（1）求f（-1），f（2.5）的值；
（2）寫出f（x）在區(qū)間[-3，3]上的表達式；
（3）指出f（x）在區(qū)間[-3，3]上的單調(diào)區(qū)間（不需證明）．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）通過已知條件即可得到f（-1）=-2f（-1+2）=-2f（1）=2，f（2.5）=f（0.5+2）=-

1

2

f(0.5)=

3

8

，所用的方法就是將自變量的值變到區(qū)間[0，2]上；
（2）要求f（x）在區(qū)間[-3，3]上的表達式，需要上f（x）在[0，2]上的表達式，所以可將區(qū)間[-3，3]分成幾個區(qū)間，并且能將每個區(qū)間變到區(qū)間[0，2]上：x∈[-3，-2]，（x+4）∈[1，2]；x∈（-2，0），（x+2）∈（0，2）；x∈[0，2]；x∈（2，3]，（x-2）∈（0，1]，這樣即可求出每個區(qū)間上的f（x）表達式，從而寫出f（x）在[-3，3]上的表達式；
（3）根據(jù)（2）求出的f（x）的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，判斷每段函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，從而求出f（x）在[-3，3]上的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）由已知條件得f（-1）=-2f（1）=-2×1×（1-2）=2，f（2.5）=f（0.5+2）=-

1

2

f(0.5)=-

1

2

×0.5×(-1.5)=

3

8

；
（2）x∈[-3，-2]時，（x+2+2）∈[1，2]；
∴f（x）=-2f（x+2）=4f（x+4）=4（x+4）（x+2）=4x²+24x+32；
x∈（-2，0）時，（x+2）∈（0，2）；
∴f（x）=-2f（x+2）=-2（x+2）x=-2x²-4x；
x∈[0，2]時，f（x）=x（x-2）=x²-2x；
x∈（2，3]時，x-2∈（0，1]；
∴f(x)=f(x-2+2)=-

1

2

f(x-2)=-

1

2

(x-2)(x-4)=-

1

2

x2+3x-4；
∴f（x）=

4x2+24x+32 x∈[-3，-2] -2x2-4x x∈(-2，0) x2-2x x∈[0，2] - 1 2 x2+3x-4 x∈(2，3)

；
（3）4x²+24x+32的對稱軸為x=-3，∴該函數(shù)在[-3，-2]單調(diào)遞增；
-2x²-4x的對稱軸為x=-1，∴該函數(shù)在（-2，-1]上單調(diào)遞增，在（-1，0）上單調(diào)遞減；
x²-2x的對稱軸為x=1，∴該函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞減，在（1，2]上單調(diào)遞增；
y=-

1

2

x2+3x-4的對稱軸為x=3，∴該函數(shù)在（2，3]上單調(diào)遞增；
∴綜上得f（x）的遞增區(qū)間是[-3，-1]，（1，3]；
f（x）的遞減區(qū)間是（-1，1]．

點評：考查運用題中所給條件的能力，將所給區(qū)間分成幾個區(qū)間，從而通過條件將每個區(qū)間變到已知表達式的區(qū)間上，從而求出該區(qū)間表達式的方法，以及二次函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間．