Question

10．某三棱錐的三視圖中俯視圖是等腰直角三角形，則該三棱錐的外接球的表面積為8π

Answer 1

分析 作出三棱錐的直觀圖，根據(jù)三視圖數(shù)據(jù)計(jì)算外接球半徑，從而得出面積．

解答 解：根據(jù)三視圖作出棱錐的直觀圖如圖所示，
由三視圖可知底面ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，AC=2，PA⊥平面ABC，PA=2．
∴PC=$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
取AC的中點(diǎn)D，PC的中點(diǎn)O，連結(jié)OD，BD，OB，則OD∥PA，OD=$\frac{1}{2}$PA=1，BD=$\frac{1}{2}AC$=1，
∴OD⊥平面ABC，∴OA=OC=OP=$\frac{1}{2}PC$=$\sqrt{2}$，OB=$\sqrt{O{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴OA=OB=OC=OP=$\sqrt{2}$，
即三棱錐的外接球球心為O，半徑為$\sqrt{2}$．
∴外接球的面積S=4π×（$\sqrt{2}$）²=8π．
故答案為：8π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱錐的三視圖和結(jié)構(gòu)特征，棱錐與外接球的計(jì)算，屬于中檔題．