Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻轉成△A1DE．若M為線段A1C的中點，則在△ADE翻折過程中： ①|BM|是定值；
②點M在某個球面上運動；
③存在某個位置，使DE⊥A1C；
④存在某個位置，使MB∥平面A1DE．
其中正確的命題是 ．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：取A1D的中點N，連結MN，EN， 則MN為△A1CD的中位線，∴MN CD，
∵E是矩形ABCD的邊AB的中點，∴BE CD，
∴MN BE，
∴四邊形MNEB是平行四邊形，
∴BM EN，
∴BM為定值，M在以B為球心，以BM為半徑的球面上，故①正確，②正確；
又NE平面A1DE，BM平面A1DE，
∴BM∥平面A1DE，故④正確；
由勾股定理可得DE=CE=2 ，∴DE2+CE2=CD2 ，
∴DE⊥CE，若DE⊥A1C，又A1C∩CE=C，
∴DE⊥平面A1CE，又A1E平面A1CE，
∴DE⊥A1E，而這與∠AED=45°矛盾．故③錯誤．
所以答案是：①②④．

【考點精析】通過靈活運用棱錐的結構特征，掌握側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方即可以解答此題．