Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+ +alnx（x＞0，a為常數(shù)）．
（1）討論函數(shù)g（x）=f（x）﹣x2的單調性；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)x1、x2 ， 求證：當a≤0時， ．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，∴ ．

①當a≤0時，g'（x）＜0，g（x）在（0，+∞）為減函數(shù)；

②當a＞0時， ，

當 時，g'（x）＜0，g（x）為減函數(shù)；

當 時，g'（x）＞0，g（x）為增函數(shù)．

∴當a＞0時，g（x）在 上為減函數(shù)，g（x）在 上為增函數(shù)

（2）解：證明：以x1為自變量，構造 ．

∴ ，又 ，

= ，

∵ ，∴ ．

故當x∈（0，x2）時，t'（x）＜0，t（x）為減函數(shù)；

當x∈（x2，+∞）時，t'（x）＞0，t（x）為增函數(shù)．

故對一切x∈（0，+∞），t（x）≥t（x2）=0．當且僅當x=x2時取等號．

題中x1≠x2，故t（x1）＞0恒成立．得證．

【解析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；（2）構造 ，求出t（x）的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，得到函數(shù)的單調區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調性證明即可．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減．