Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，且PA=AD=1，AB=2，∠PAB=120°，∠PBC=90°．
（Ⅰ）求證：DA⊥平面PAB；
（Ⅱ） 求直線PC與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由∠PBC=90°得BC⊥PB，又BC⊥AB，故BC⊥平面PAB，因為AD∥BC，故AD⊥平面PAB，故平面PAD⊥平面PAB；
（2）過點P作平面ABCD的垂線，垂足為H，連接CH，可證得∠PCH為PC與底面ABCD所成的角，在直角三角形PAH，直角三角形BCH，直角三角形PCH中分別求得PH，CH，PC的長，即可求得直線PC與平面ABCD所成角的正弦值為．
解答：解：（Ⅰ）平面PAD⊥平面PAB
∵∠PBC=90°∴BC⊥PB
∵四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形∴BC⊥AB
∵PB?平面PAB，AB?平面PAB，且PB∩AB=B
∴BC⊥平面PAB
∵AD∥BC
∴AD⊥平面PAB
∵AD?平面PAD
∴平面PAD⊥平面PAB．
（Ⅱ）如圖，過點P作BA延長線的垂線PH，垂足為H，連接CH．
由（Ⅰ）可知AD⊥平面PAB
∵AD?平面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD
∵PH?平面PAB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB
∴PH⊥平面ABCD
∴CH為PC在平面ABCD內(nèi)的射影．
∴∠PCH為PC與底面ABCD所成的角．
∵∠PAB=120°
∴∠PAH=60°
∵PA=1
∴在直角三角形PAH中，PH=PA×sin60°=，AH=PA×cos60°=
在直角三角形HBC中，BH=AH+AB=，BC=AD=1
故CH=
在直角三角形PHC中，PC=
∴
故直線PC與平面ABCD所成角的正弦值為
點評：本題主要考查了兩個平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理及直線與平面所成的角概念和求法，培養(yǎng)了空間想象能力及問題的等價轉(zhuǎn)換的能力．