Question

2．在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$的正方形，AA₁=3，E是AA₁的中點(diǎn)，過C₁作C₁F⊥平面BDE與平面ABB₁A₁交于點(diǎn)F，則CF與平面ABCD所成角的正切值為$\frac{5}{6}$．

Answer 1

分析 連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，當(dāng)C₁F與EO垂直時(shí)，C₁F⊥平面BDE，從而F∈AA₁，進(jìn)而∠CAF是CF與平面ABCD所成角，由△C₁A₁F∽△EAO，求出AC，由此能求出CF與平面ABCD所成角的正切值．

解答 解：連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，
∵四邊形ABCD是正方形，AA₁⊥底面ABCD，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，
則當(dāng)C₁F與EO垂直時(shí)，C₁F⊥平面BDE，
∵F∈平面ABB₁A₁，∴F∈AA₁，
∴∠CAF是CF與平面ABCD所成角，
在矩形ACC₁A₁中，△C₁A₁F∽△EAO，
則$\frac{{A}_{1}{C}_{1}}{{A}_{1}F}$=$\frac{AE}{AO}$，
∵A₁C₁=2AO=$\sqrt{2}$AB=2，AE=$\frac{3}{2}$，
∴A₁F=$\frac{4}{3}$，∴AF=$\frac{5}{3}$，
∴tan$∠CAF=\frac{AF}{AC}$=$\frac{\frac{5}{3}}{2}$=$\frac{5}{6}$．
∴CF與平面ABCD所成角的正切值為$\frac{5}{6}$．
故答案為：$\frac{5}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的正切值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．