Question

【題目】已知函數(shù)， （為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（Ⅱ）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析; （Ⅱ）.

【解析】試題分析:(1)對(duì)函數(shù) 進(jìn)行求導(dǎo),根據(jù)基本不等式得出 的范圍,按照 的最小值是否在定義域內(nèi)分兩類討論,: ①當(dāng)， 在上單調(diào)遞增，所以沒(méi)有極值點(diǎn)；②當(dāng)，轉(zhuǎn)化為方程正數(shù)解的個(gè)數(shù);(2) 函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為由兩個(gè)不同的根，通過(guò)參變分離,構(gòu)造新的函數(shù),求導(dǎo)判斷單調(diào)性與最值,求出參數(shù)的范圍.

試題解析:（Ⅰ），

∵，∴，

①當(dāng)，即時(shí)， 對(duì)恒成立， 在上單調(diào)遞增，所以沒(méi)有極值點(diǎn)；

②當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)不等正數(shù)解， ，

，

不妨設(shè)，則當(dāng)時(shí)， ， 為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)， ， 為減函數(shù)； 時(shí)， ， 為增函數(shù)，所以， 分別為極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，即有兩個(gè)極值點(diǎn)．

綜上所述，當(dāng)時(shí)， 沒(méi)有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)， 有兩個(gè)極值點(diǎn)．

（Ⅱ）令，得，即，

∵，∴，

令（），

，

∵，∴時(shí)， ， 為減函數(shù)；

時(shí)， ， 為增函數(shù)，∴，

當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

∵函數(shù)圖象與函數(shù)圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．