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求證：
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
2n-1
＞
n-2
2
（n≥2）．
分析：題干錯誤：：
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
2n-1
＞
n-2
2
，應該是：：
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
2n-1
＞
n-2
2
，請給修改
解答：證明：①當n=2時，左=
1
2
＞0=右，
∴不等式成立．
②假設當n=k（k≥2，k∈N*）時，不等式成立．
即
1
2
+
1
3
+…+
1
2k-1
＞
k-2
2
成立．
那么n=k+1時，
1
2
+
1
3
+…+
1
2k-1
 
+
1
2k-1+1
+…+
1
2k-1+2k-1

＞
k-2
2
+
1
2k-1+1
+…+
1
2k
＞
k-2
2
+
1
2k
+
1
2k
+…+
1
2k

=
k-2
2
+
2k-1
2k
=
(k+1)-2
2
，
∴當n=k+1時，不等式成立．
據①②可知，不等式對一切n∈N*且n≥2時成立
點評：本題主要考查
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=ln(x+1)-ax+
1-a
x+1
（a＞
1
2
）．
（Ⅰ）當曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線l：y=2x+1垂直時，求a的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區(qū)間．
（III）求證：
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n+1
＜ln(n+1)＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
   (n∈N*)．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=ln（x+1）．
（1）若g(x)=
1
4
x2-x+f(x)，求g（x）在[0，2]上的最大值與最小值；
（2）當x＞0時，求證
1
1+x
＜f(
1
x
)＜
1
x
；
（3）當n∈N+且n≥2時，求證：
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n+1
＜f(n)＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=
1-x
ax
+lnx在[1，+∞）上為增函數．
（1）求正實數a的取值范圍；
（2）若a=1，求證：
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
＜lnn＜n+
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n-1
（n∈N*且n≥2）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

數列{an}滿足a1=
1
3
，  an+1=
a
2
n
a
2
n
-an+1
(n=1，2，…)．
（Ⅰ）求a2，a3；
（Ⅱ） 求證：a1+a2+…+an=
1
2
-
an+1
1-an+1
；
（Ⅲ）求證：
1
2
-
1
32n-1
＜a1+a2+…+an＜
1
2
-
1
32n
．

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