Question

16．已知橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$過點(diǎn)$P（2，\sqrt{3}）$，且它的離心率為$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）與圓（x-1）²+y²=1相切的直線l：y=kx+t（k∈R，t∈R）交橢圓E于M、N兩點(diǎn)，若橢圓E上一點(diǎn)C滿足$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=λ\overrightarrow{OC}$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知條件利用橢圓性質(zhì)列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ） 由直線與圓相切得到2k=$\frac{1-{t}^{2}}{t}$，t≠0，把y=kx+t代入$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$，得（3+4k²）x²+8ktx+（4t²-24）=0，由此利用韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出λ的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$過點(diǎn)$P（2，\sqrt{3}）$，且它的離心率為$\frac{1}{2}$，
∴由已知得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{3}{^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{c}^{2}={a}^{2}-^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=8，b²=6，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$．…（4分）
（Ⅱ）∵直線l：y=kx+t（k∈R，t∈R）與圓（x-1）²+y²=1相切，
∴$\frac{|t+k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，∴2k=$\frac{1-{t}^{2}}{t}$，t≠0，…（6分）
把y=kx+t代入$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$，并整理得：（3+4k²）x²+8ktx+（4t²-24）=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則有${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8kt}{3+4{k}^{2}}$，
y₁+y₂=kx₁+t+kx₂+t=k（x₁+x₂）+2t=$\frac{6t}{3+4{k}^{2}}$，…（8分）
∵$λ\overrightarrow{OC}$=（x₁+x₂，y₁+y₂），∴C（$\frac{-8kt}{（3+4{k}^{2}）λ}$，$\frac{6t}{（3+4{k}^{2}）λ}$），
又∵點(diǎn)C在橢圓上，∴$\frac{8{k}^{2}{t}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}{λ}^{2}}$+$\frac{6{t}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}{λ}^{2}}$=1，
∴${λ}^{2}=\frac{2{t}^{2}}{3+4{k}^{2}}=\frac{2}{（\frac{1}{{t}^{2}}）^{2}+（\frac{1}{{t}^{2}}）+1}$，…（10分）
∵t²＞0，∴（$\frac{1}{{t}^{2}}$）²+（$\frac{1}{{t}^{2}}$）+1＞1，
∴0＜λ²＜2，∴λ的取值范圍為（-$\sqrt{2}$，0）∪（0，$\sqrt{2}$）．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓與直線的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．