Question

已知函數(shù)f（x）-x+（t＞0）和點P（1，0），過點P作曲線y=f（x）的兩條切線PM、PN，切點分別為M，N．
（Ⅰ）設|MN|=g（t），試求函數(shù)g（t）的表達式；
（Ⅱ）是否存在t，使得M，N與A（0，1）三點共線．若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設M、N兩點的橫坐標分別為x₁、x₂，
∵f′（x）=1-，
∴切線PM的方程為：y-（x₁+）=（1-）（x-x₁），
又∵切線PM過點P（1，0），∴有0-（x₁+）=（1-）（1-x₁），
即x₁²+2tx₁-t=0，（1）
同理，由切線PN也過點P（1，0），得x₂²+2tx₂-t=0．（2）
由（1）、（2），可得x₁，x₂是方程x²+2tx-t=0的兩根，
∴（*）
|MN|==，
把（*）式代入，得|MN|=，
因此，函數(shù)g（t）的表達式為g（t）=（t＞0）．
（Ⅱ）當點M、N與A共線時，k_MA=k_NA，
∴=，即=，
化簡，得（x₂-x₁）[t（x₂+x₁）-x₁x₂]=0
∵x₁≠x₂，∴t（x₂+x₁）=x₂x₁．（3）
把（*）式代入（3），解得t=．
∴存在t，使得點M、N與A三點共線，且t=．
分析：（I）設出M、N兩點的橫坐標分別為x₁、x₂，對函數(shù)求導得到切線的斜率，寫出切線的方程，根據(jù)切線過一個點，得到一個方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出兩點之間的長度，得到函數(shù)的表示式．
（II）根據(jù)三點共線寫出其中兩點連線的斜率相等，整理出最簡單形式，把上一問做出的結(jié)果代入，求出t的值．
點評：本題考查函數(shù)的綜合題目，主要應用導函數(shù)求最值來解題，本題解題的關(guān)鍵是正確應用導數(shù)，本題是一個綜合題目，綜合性比較強．