Question

17．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足：S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且2，a_n，S_n成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若c_n=n•a_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由2，a_n，S_n成等差數(shù)列．可得2a_n=S_n+2，再利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵2，a_n，S_n成等差數(shù)列．
∴2a_n=S_n+2，
∴n=1，2a₁=a₁+2，解得a₁=2；
當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n-1=S_n-1+2，∴2a_n-2a_n-1=a_n，化為a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2，
∴a_n=2ⁿ．
（2）c_n=n•a_n=n•2ⁿ．
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=2+2×2²+3×2²+…+n•2ⁿ，
2T_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．