Question

7．已知以點(diǎn)C為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）和B（3，4），且圓心C在直線x+3y-15=0上．
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P在圓C上，求Rt△PAB的面積．

Answer 1

分析 （1）圓心C為AB的垂直平分線和直線x+3y-15的交點(diǎn)，解之可得C（-3，6），由距離公式可得半徑，進(jìn)而可得所求圓C的方程；
（2）求出|AB|，由題意可得角A或角B為直角，可知Rt△PAB的斜邊長為圓的直徑，由勾股定理求得另一直角邊長，則Rt△PAB的面積可求．

解答 解：（1）依題意所求圓的圓心C為AB的垂直平分線和直線x+3y-15=0的交點(diǎn)，
∵AB的中點(diǎn)為（1，2），斜率為$\frac{4-0}{3-（-1）}$=1，
∴AB的垂直平分線的方程為y-2=-（x-1），即y=-x+3，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{x+3y-15=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=6}\end{array}\right.$，即圓心C（-3，6）．
∴半徑r=$\sqrt{（-1+3）^{2}+（0-6）^{2}}=2\sqrt{10}$．
∴所求圓C的方程為（x+3）²+（y-6）²=40；
（2）如圖，
|AB|=$\sqrt{（-1-3）^{2}+（0-4）^{2}}=4\sqrt{2}$，
PA或PB為圓的直徑，等于$4\sqrt{10}$，
∴Rt△PAB的另一條直角邊為$\sqrt{（4\sqrt{10}）^{2}-（4\sqrt{2}）^{2}}=8\sqrt{2}$，
∴Rt△PAB的面積為$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$×8$\sqrt{2}$=32．

點(diǎn)評 本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了直線與圓的性質(zhì)，訓(xùn)練了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬中檔題．