Question

5．過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的長為8，求拋物線的方程．

Answer 1

分析 由題意得直線AB的方程為y=x-$\frac{p}{2}$，與拋物線方程消去y關于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系和拋物線的定義得出|AB|=4p=8，從而解出p的值，則拋物線的方程可求．

解答 解：由題意可知過焦點的直線方程為y=x-$\frac{p}{2}$，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=x-\frac{p}{2}}\end{array}\right.$，
得${x}^{2}-3px+\frac{{p}^{2}}{4}=0$，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
根據(jù)拋物線的定義，得|AB|=x₁+x₂+p=4p=8，
解得p=2．
∴拋物線的方程為y²=4x．

點評 本題給出直線與拋物線相交，在已知被截得弦長的情況下求焦參數(shù)p的值．著重考查了拋物線的標準方程和直線與圓錐曲線位置關系等知識，屬于中檔題．