Question

14．設(shè)A₁，A₂分別為雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左右頂點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)M使得兩直線斜率${k_{M{A_1}}}{k_{M{A_2}}}＜2$，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（　�。�

• A． $（0，\sqrt{3}）$
• B． $（1，\sqrt{3}）$
• C． $（\sqrt{3}，+∞）$
• D． （0，3）

Answer 1

分析 由題意可得A₁（-a，0），A₂（a，0），設(shè)M（m，n），代入雙曲線的方程，運(yùn)用直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理可得b²＜2a²，由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求范圍．

解答 解：由題意可得A₁（-a，0），A₂（a，0），
設(shè)M（m，n），可得$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，
即有$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
由題意${k_{M{A_1}}}{k_{M{A_2}}}＜2$，
即為$\frac{n-0}{m+a}$•$\frac{n-0}{m-a}$＜2，
即有$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$＜2，即b²＜2a²，
c²-a²＜2a²，即c²＜3a²，
c＜$\sqrt{3}$a，即有e=$\frac{c}{a}$＜$\sqrt{3}$，
由e＞1，可得1＜e＜$\sqrt{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運(yùn)用點(diǎn)滿足雙曲線方程和直線的斜率公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．