Question

2．已知函數(shù)$f（x）=（{m^2}-m-1）{x^{{m^2}-2m-3}}$是冪函數(shù)，且f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，${（a+1）^{\frac{1}{m}}}＜{（3-2a）^{\frac{1}{m}}}$，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-1，$\frac{2}{3}$）．

Answer 1

分析 運(yùn)用冪函數(shù)的定義，可得m²-m-1=1，解得m，再由冪函數(shù)的單調(diào)性即可得到m，再根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于a的不等式組解得即可．

解答 解：由冪函數(shù)定義可知：m²-m-1=1，
解得m=2或m=-1，
又函數(shù)在x∈（0，+∞）上為減函數(shù)，
當(dāng)m=2時(shí)，m²-2m-3=4-4-3＜0，符合題意，
當(dāng)m=-1時(shí)，m²-2m-3=1+2-3=0，不符合題意
則m=2，
∵${（a+1）^{\frac{1}{m}}}＜{（3-2a）^{\frac{1}{m}}}$，
∴$（a+1）^{\frac{1}{2}}$＜$（3-2a）^{\frac{1}{2}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+1≥0}\\{3-2a≥0}\\{a+1＜3-2a}\end{array}\right.$，
解得-1≤a＜$\frac{2}{3}$，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-1，$\frac{2}{3}$），
故答案為：[-1，$\frac{2}{3}$），

點(diǎn)評(píng) 本題考查冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．