5.已知函數(shù)f(x)=x3+|ax-3|-2,a>0.
(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)a∈(0,5)時(shí),對(duì)于任意x1∈[0,1],總存在x2∈[0,1],使得f(x1)+f(x2)=0,求實(shí)數(shù)a的值.

分析 (1)討論當(dāng)x≥$\frac{3}{a}$時(shí),去掉絕對(duì)值,求出導(dǎo)數(shù);當(dāng)x<$\frac{3}{a}$時(shí),去掉絕對(duì)值,求出導(dǎo)數(shù),討論當(dāng)0<a≤1時(shí),當(dāng)1<a≤3時(shí),當(dāng)a>3時(shí),由導(dǎo)數(shù)大于0,可得增區(qū)間,導(dǎo)數(shù)小于0,可得減區(qū)間;
(2)由題意可得f(0)+f(1)=0,求得a的值,去掉絕對(duì)值,畫出f(x)在[0,1]的圖象,即可得到結(jié)論.

解答 解:(1)當(dāng)x≥$\frac{3}{a}$時(shí),f(x)=x3+ax-5,
由a>0,f′(x)=3x2+a>0,可得f(x)在[$\frac{3}{a}$,+∞)遞增;
當(dāng)x<$\frac{3}{a}$時(shí),f(x)=x3-ax+1,
由a>0,f′(x)=3x2-a,
由f′(x)>0,可得x>$\sqrt{\frac{a}{3}}$或x<-$\sqrt{\frac{a}{3}}$;
由f′(x)<0,可得-$\sqrt{\frac{a}{3}}$<x<$\sqrt{\frac{a}{3}}$.
當(dāng)0<a≤1時(shí),$\sqrt{\frac{a}{3}}$≤$\frac{3}{a}$,f(x)在($\sqrt{\frac{a}{3}}$,$\frac{3}{a}$),(-∞,-$\sqrt{\frac{a}{3}}$)遞增;
在(-$\sqrt{\frac{a}{3}}$,$\sqrt{\frac{a}{3}}$)遞減;
當(dāng)a>1時(shí),$\sqrt{\frac{a}{3}}$>$\frac{3}{a}$,f(x)在(-∞,-$\sqrt{\frac{a}{3}}$)遞增;
在(-$\sqrt{\frac{a}{3}}$,$\frac{3}{a}$)遞減;
綜上可得,當(dāng)0<a≤1時(shí),f(x)的增區(qū)間為(-∞,-$\sqrt{\frac{a}{3}}$),($\sqrt{\frac{a}{3}}$,+∞),
減區(qū)間為(-$\sqrt{\frac{a}{3}}$,$\sqrt{\frac{a}{3}}$);
當(dāng)1<a≤3時(shí),f(x)的增區(qū)間為(-∞,-$\sqrt{\frac{a}{3}}$),[$\sqrt{\frac{a}{3}}$,+∞),
減區(qū)間為(-$\sqrt{\frac{a}{3}}$,$\sqrt{\frac{a}{3}}$);
當(dāng)a>3時(shí),f(x)的增區(qū)間為(-∞,-$\sqrt{\frac{a}{3}}$),[$\frac{3}{a}$,+∞),
減區(qū)間為(-$\sqrt{\frac{a}{3}}$,$\frac{3}{a}$);
(2)當(dāng)a∈(0,5)時(shí),對(duì)于任意x1∈[0,1],
總存在x2∈[0,1],使得f(x1)+f(x2)=0,
由f(0)=1,結(jié)合圖象可得f(1)=1+|a-3|-2=-1,
解得a=3.
當(dāng)a=3時(shí),f(x)=x3+|3x-3|-2,
當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x3-3x+1,
f′(x)=3x2-3≤0,f(x)遞減,則f(x)∈[-1,0],且與x軸有一個(gè)交點(diǎn),
故a=3成立.

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求單調(diào)區(qū)間,注意運(yùn)用分類討論思想方法,考查任意性和存在性問題的解法,注意結(jié)合圖象,考查運(yùn)算能力,有一定難度.

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