Question

如圖，P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，M，N分別是PA和AB的中點(diǎn)，試過點(diǎn)M，N作平行于AC的平面α，要求：
（1）畫出平面α分別與平面ABC，平面PBC，平面PAC的交線；
（2）試對(duì)你的畫法給出證明．

Answer 1

解 （1）過N點(diǎn)作NE∥AC交BC于E，
過M點(diǎn)作MF∥AC交PC于F，連接EF，
則平面MNEF為平行于AC的平面α，
則NE，EF，MF分別是平面α與平面ABC，平面PBC，平面PAC的交線．
（2）證明：∵NE∥AC，MF∥AC，
∴NE∥MF，
∴直線NE與MF共面，
∵點(diǎn)N和E，點(diǎn)E和F，點(diǎn)M和F分別是α與平面ABC，平面PBC，平面PAC的公共點(diǎn)，
∴NE，EF，MF分別是平面MNEF與平面ABC，平面PBC，平面PAC的交線．
∵NE∥AC，NE?平面MNEF，∴AC∥平面MNEF．
∴平面MNEF為所求的平面．
分析：（1）根據(jù)題意和線面平行的判定，需要過N點(diǎn)作NE∥AC、過M點(diǎn)作MF∥AC，連接EF，則由圖形和公理3得到與各個(gè)平面的交線；
（2）根據(jù)做法證出線線平行證出兩直線共面，再由公理3證出α與其它平面的交線，根據(jù)線面平行的判定定理證出線面平行．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面的基本性質(zhì)和平面的畫法，主要是根據(jù)公理2以及推論、線面平行的判定定理作出平面，證平面的交線時(shí)依據(jù)公理3進(jìn)行證明．